Libro de calculo de varias variables

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Debido a mi ignorancia, encuentro que la mayoría de las referencias de análisis matemático (análisis real o cálculo avanzado) que he leído no hablan mucho del «cálculo multivariante». Después de tratar teóricamente el cálculo monovariable, se suele pasar directamente al tema de la teoría de la medida.
Después de leer el artículo de la wiki «Prueba de la segunda derivada parcial», me gustaría encontrar la prueba rigurosa de esta prueba. El primer libro que se me ocurre es Introducción al Cálculo y al Análisis de Courant, que incluye el caso multivariante en el segundo volumen.
Para la diferenciación, puedes usar Principios de Análisis Matemático de Rudin (capítulo 9). En realidad, este texto también trata la integración y el cálculo vectorial (capítulo 10), pero a mí personalmente me resultaba difícil seguir el tratamiento de Rudin cuando empezaba a aprender la asignatura.
Para las curvas y las superficies, se puede utilizar básicamente cualquier libro de geometría diferencial elemental. Uno de los más utilizados es Differential Geometry of Curves and Surfaces, de do Carmo, aunque yo recomiendo mucho Elementary Differential Geometry, de Pressley.

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En matemáticas, una variable es un símbolo que funciona como marcador de posición para expresiones o cantidades que pueden variar o cambiar; a menudo se utiliza para representar el argumento de una función o un elemento arbitrario de un conjunto. Además de los números, las variables se utilizan habitualmente para representar vectores, matrices y funciones[1][2].
Hacer cálculos algebraicos con variables como si fueran números explícitos permite resolver una serie de problemas en un solo cálculo. Un ejemplo típico es la fórmula cuadrática, que permite resolver cualquier ecuación cuadrática, simplemente sustituyendo los valores numéricos de los coeficientes de la ecuación dada por las variables que los representan.
En lógica matemática, una variable es, o bien un símbolo que representa un término no especificado de la teoría (es decir, meta-variable), o bien un objeto básico de la teoría, que se manipula sin hacer referencia a su posible interpretación intuitiva.
A partir de la década de 1660, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal, que consiste esencialmente en estudiar cómo una variación infinitesimal de una cantidad variable induce una variación correspondiente de otra cantidad que es función de la primera variable. Casi un siglo después, Leonhard Euler fijó la terminología del cálculo infinitesimal e introdujo la notación y = f(x) para una función f, su variable x y su valor y. Hasta finales del siglo XIX, la palabra variable se refería casi exclusivamente a los argumentos y los valores de las funciones.

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El cálculo multivariable (también conocido como cálculo multivariable) es la extensión del cálculo en una variable al cálculo con funciones de varias variables: la diferenciación e integración de funciones que involucran varias variables, en lugar de una sola.[1] El estudio de los límites y la continuidad en el cálculo multivariable arroja muchos resultados contraintuitivos que no se demuestran con las funciones de una sola variable[1]: 19-22 Por ejemplo, hay funciones escalares de dos variables con puntos en su dominio que dan límites diferentes cuando se aproximan por caminos distintos. Por ejemplo, la función
La continuidad en cada argumento no es suficiente para la continuidad multivariable también se puede ver en el siguiente ejemplo.[1]: 17-19 En particular, para una función de valor real con dos parámetros de valor real,

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Debido a mi ignorancia, encuentro que la mayoría de las referencias de análisis matemático (análisis real o cálculo avanzado) que he leído no hablan mucho del «cálculo multivariable». Después de tratar teóricamente el cálculo monovariable, se suele pasar directamente al tema de la teoría de la medida.
Después de leer el artículo de la wiki «Prueba de la segunda derivada parcial», me gustaría encontrar la prueba rigurosa de esta prueba. El primer libro que se me ocurre es Introducción al Cálculo y al Análisis de Courant, que incluye el caso multivariante en el segundo volumen.
Para la diferenciación, puedes usar Principios de Análisis Matemático de Rudin (capítulo 9). En realidad, este texto también trata la integración y el cálculo vectorial (capítulo 10), pero a mí personalmente me resultaba difícil seguir el tratamiento de Rudin cuando empezaba a aprender la asignatura.
Para las curvas y las superficies, se puede utilizar básicamente cualquier libro de geometría diferencial elemental. Uno de los más utilizados es Differential Geometry of Curves and Surfaces, de do Carmo, aunque yo recomiendo mucho Elementary Differential Geometry, de Pressley.